Chapitre 8 - Lois de Kirchhoff
Mon premier cours en électronique
De nombreux types de circuits ont des composants qui ne sont ni en série, ni en parallèle, ni en montage mixte.
La figure 8-3 donne un exemple d'un circuit à deux tensions appliquées dans des branches différentes. Un montage en pont déséquilibré nous en fournit un autre exemple.
Des méthodes générales d'analyse s'imposent lorsque les règles relatives aux circuits série et parallèle ne peuvent pas être appliquées.
Ces méthodes comportent l'application des lois de Kirchhoff telles que nous les décrivons ici, ainsi que les théorèmes de réseau expliqués dans le chapitre 9. Tout circuit peut être résolu par les lois de Kirchhoff car celles-ci ne dépendent pas des connexions série ou parallèle.
Établies en 1847 par le physicien allemand Gustav R. Kirchhoff, les deux règles fondamentales pour les tensions et les courants sont les suivantes:
1. La somme algébrique des sources de tension et des chutes de tension IR doit correspondre à zéro le long de tout parcours fermé;
2. À un point quelconque du circuit, la somme algébrique des courants dirigés vers l'intérieur et l'extérieur doit être nulle.
Des méthodes spécifiques d'application de ces règles fondamentales sont expliquées sous les rubriques suivantes:
8.1 Loi des courants de Kirchhoff
8.2 Loi des tensions de Kirchhoff
8.3 Méthodes des courants de branches
8.4 Analyse de la tension aux noeuds
8.5 Méthode des courants de mailles
8.1 LOI DES COURANTS DE KIRCHHOFF
La somme algébrique des courants entrant et sortant d'un point quelconque du circuit doit être nulle.
En d'autres termes: la somme algébrique des courants arrivant à un point quelconque du circuit doit égaler la somme algébrique des courants s'éloignant de ce point.
Autrement, la charge s'accumulerait sur ce point au lieu de donner un parcours conducteur.
Signes algébriques
Il est nécessaire, si on utilise les lois de Kirchhoff pour résoudre des circuits, d'adopter des conventions qui déterminent les signes algébriques en termes de courant et de tension.
Le système suivant est pratique pour le courant:
Considérer que tous les courants arrivant dans un point de la branche sont positifs et que tous les courants qui s'éloignent de ce point sont négatifs.
Par exemple, pour la figure 8-1, nous pouvons écrire les courants comme suit:
IA + IB + IC = 0 = 5A + 3A - 8A = 0
Figure 8-1 Le courant IC s'éloignant de P est égal à 5 A +3 A, il a la même valeur que le courant arrivant en P
Comme leurs courants s'écoulent dans P, IA et IB sont des expressions positives.
Mais IC, qui est dirigé vers l'extérieur, est négatif.
Équations des courants
Référons-nous au point c, au sommet du diagramme de la figure 8-2, pour une application à un circuit.
Le courant IT de 6A arrivant au point c se divise en deux courants:
I3 = 2A et I4-5 = 4A, tous deux s'éloignant de c.
Remarquons que I4-5 est le courant passant par R4 et R5.
L'équation algébrique est:
IT - I3 - I4-5 = 0
En substituant les valeurs pour ces courants, on obtient:
6A - 2A - 4A = 0
Pour les directions opposées, référons-nous au point d au bas de la figure 8-2.
Figure 8-2 Circuit mixte illustrant les lois de Kirchhoff. Se reporter au texte pour les équations des courants et des tensions.
Ici, les courants de branche arrivant en d se combinent pour égaler le courant IT de la ligne principale retournant à la source de tension. Or, IT s'éloigne de d, tandis que I3 et I4-5 s'en rapprochent.
L'équation algébrique est alors:
-IT + I3 + I4-5
-6A + 2A + 4A = 0
I arrivant = I s'éloignant
Remarquons que, soit au point c, soit au point d de la figure 8-2, la somme des courants de branches 2A et 4A doit être égale au courant de ligne total 6A.
Par conséquent, on peut résumer la loi des courants de Kirchhoff par: I arrivant = I s'éloignant.
Pour la figure 8-2, on peut écrire les équations des courants de la manière suivante:
Au point c: 6A = 2A + 4A
Au point d: 2A + 4A = 6A
La loi des courants de Kirchhoff est réellement la base de la règle pratique dans les circuits parallèle selon laquelle le courant de ligne total doit être égal à la somme des courants de branches.
Problèmes pratiques 8.1 (réponses à la fin du chapitre)
(a) Soit les courants Ii = 1 A, I2 = 2 A et 73 = 3 A s'approchant d'un point. Calculer le courant / s'en éloignant.
(b) Le courant /j de 3 A s'approche d'un point, le courant / s'en éloignant est de 7 A. Calculer I2 s'approchant de ce même point.
8.2 LOI DES TENSIONS DE KIRCHHOFF
La somme algébrique des tensions autour d'un parcours fermé donné est égale à zéro.
Si l'on part d'un point quelconque correspondant à une tension et si l'on retourne au même point et à la même tension, la différence de tension doit être égale à zéro.
Signes algébriques
Si l'on veut déterminer les signes algébriques pour des termes de tension, il faut marquer tout d'abord la polarité de chaque tension comme l'indique la figure 8-2.
Un système pratique consistera à contourner tout le parcours fermé et à considérer comme positive une tension dont la borne positive est atteinte en premier et vice versa.
Cette méthode s'applique aux chutes de tension et aux sources de tension.
Ce sens de parcours est celui des aiguilles d'une montre ou le sens contraire. De toute façon, si l'on retourne au point de départ, la somme algébrique de toutes les tensions doit être égale à zéro.
Si on ne revient pas au point de départ, la somme algébrique sera alors la tension entre les points de départ et d'aboutissement.
On peut suivre tout parcours fermé, car la tension nette entre deux points d'un circuit est la même, quel que soit le parcours utilisé pour déterminer la différence de potentiel.
Équations des boucles
Tout parcours fermé s'appelle une boucle. L'équation d'une boucle précise les tensions qu'elle comporte le long de son trajet.
La figure 8-2 comprend trois boucles: la boucle extérieure, partant du point a au sommet passant par cefdb et revenant à a, comprend les chutes de tension V1, V4, V5 et V2, ainsi que la source VT.
La boucle intérieure acdba comprend V1, V3, V2 et VT. L'autre boucle intérieure cefdc avec V4, V5 et V3 ne comprend pas la tension de source VT.
Considérons l'équation des tensions pour la boucle intérieure avec VT. Dans le sens des aiguilles d'une montre, en partant du point a, la somme algébrique des tensions sera:
-v1 - v3 - v2 + vT = 0
ou encore:
-30V - 120V - 90V + 240V = 0
Les tensions V1, V3 et V2 portent un signe négatif, car pour chacune d'entre elles la borne négative est atteinte la première.
Toutefois, la source VT a un signe positif car sa borne positive est atteinte la première, en allant dans le même sens.
Dans le sens opposé, en allant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, dans la même boucle à partir du point b, au bas, V2, V3 et V1 ont des valeurs positives et VT est négatif.
Donc:
V2 + V3 + V1 - VT = 0
ou
90V + 120 V + 30 V - 240 V = 0
Si nous transposons le terme négatif -240V, l'équation deviendra:
90V + 120 V + 30 V = 240 V
Cette équation indique que la somme des chutes de tension est égale à la tension appliquée.
ΣV = VT
La lettre grecque Σ, signifie somme de.
Quel que soit le sens de parcours d'une boucle quelconque, la somme des chutes de tension IR sera égale à la tension appliquée VT.
Sur la figure 8-2, en considérant la boucle intérieure comportant la source VT et parcourue dans le sens opposé aux aiguilles d'une montre à partir de b, on a:
90V + 120 V + 30 V = 240V
Ce système n'est pas en contradiction avec la règle des signes algébriques.
Si la tension de 240 V était située sur le côté gauche de l'équation, cette expression aurait un signe négatif.
En posant une équation de boucle telle que ΣV = VT, on élimine la nécessité de transposer les membres négatifs d'un côté à l'autre pour les rendre positifs.
Sous cette forme, les équations de boucle montrent que la loi des tensions de Kirchhoff est la base réelle des règles pratiques pour les circuits série selon laquelle la somme des chutes de tension doit être égale à la tension appliquée.
Si une boucle est dépourvue de source de tension, la somme algébrique des chutes de tension IR seule doit être égale à zéro.
Par exemple, dans la figure 8-2, en ce qui concerne la boucle cefdc sans la source VT, en allant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point c, l'équation de boucle des tensions sera:
-V4 - V5 + V3 = 0
-40V -80V + 120V = 0
0 = 0
Remarquons que V3 est devenu positif, car sa borne positive est atteinte la première en circulant dans le sens des aiguilles d'une montre dans cette boucle, de d à c.
Problèmes pratiques 8.2 (réponses à la fin du chapitre) Considérer la figure 8-2:
(a) Soit le parcours cefd, on donne V4 = -40 V et V5= -80 V. Calculer la tension totale;
(b) Soit la boucle cefdc, on donne V4 = -40 V, V5= -80 V. Calculer la tension totale en incluant les 120 V de V3.
8.3 MÉTHODE DES COURANTS DE BRANCHES
Nous pouvons maintenant utiliser les lois de Kirchhoff pour analyser le circuit de la figure 8-3. Il s'agit de trouver les courants et les tensions des trois résistances.
Figure 8-3 Application des lois de Kirchhoff à un circuit comportant deux sources dans des branches différentes. Se reporter au texte pour la solution obtenue en trouvant les courants de branches.
Indiquons tout d'abord le sens des courants et marquons la polarité aux bornes de chaque résistance correspondant au sens supposé du courant. Ne pas oublier que le flux d'électrons dans une résistance produit une polarité négative là où le courant pénètre.
Dans la figure 8-3, nous supposons que la source V1 fournit un flux d'électrons de gauche à droite passant par R1 tandis que V2 produit un flux d'électrons de droite à gauche passant par R2.
Les trois courants différents dans R1, R2 et R3 sont indiqués par I1, I2 et I3.
Toutefois, trois inconnues exigent trois équations pour calculer leur solution.
À partir de la loi des courants de Kirchhoff:
I3 = I1 + I2, car le courant provenant du point c doit être égal au courant d'entrée.
Par conséquent, le courant passant par R3 peut être désigné par I1 + I2.
S'il y a deux inconnues, il faut deux équations indépendantes pour résoudre I1 et I2. Ces équations s'obtiennent en écrivant deux équations de la loi des tensions de Kirchhoff sur deux boucles.
La figure 8-3 comprend trois boucles, la boucle extérieure et deux boucles intérieures, mais deux boucles suffisent.
Pour cette solution, on utilise les boucles intérieures.
Écriture des équations des boucles
Pour la boucle avec V1 commencer au point b, au bas, à gauche, et aller dans le sens des aiguilles d'une montre en passant par V1, VR1 et VR3.
L'équation de la boucle 1 sera:
84 - VR1 - VR3
En ce qui concerne la boucle avec V2, commencer au point f à la partie inférieure droite, et aller dans le sens opposé des aiguilles d'une montre via V2, VR2 et VR3.
Cette équation pour la boucle 2 sera:
21 - VR2 - VR3 = 0
En se servant des valeurs connues de R1, R2 et R3 pour spécifier les chutes de tension IR, on a alors:
VR1 =I1R1 = 12I1
VR2 = I2R2 = 3I2
VR3=(I1+ I2)R3 = 6(I1+ I2)
Si on remplace ces valeurs dans l'équation des tensions de la boucle 1, on obtient:
84 - 12I1 - 6(I1 + I2) = 0
De plus, dans la boucle 2:
84 - 12I1 - 6(I1 + I2) = 0
En multipliant (I1 + I2) par 6, en combinant les expressions et en faisant la transposition des termes de l'équation, ces deux équations deviennent:
-18I1 - 62 = -84
-6I1 - 92 = -21
Divisons l'équation du haut par -6 et l'équation du bas par -3 pour diminuer les coefficients et pour n'avoir que des expressions positives.
Les deux équations deviennent alors, dans leur expression la plus simple:
3I1 + I2 = 14
2I1 + 3I2 = 7
Solution pour les courants
Ces deux équations aux deux inconnues I1 et I2 contiennent la solution du réseau. Il faut remarquer que ces équations comprennent chaque résistance du circuit. I1 et I2 peuvent se calculer par n'importe quelle méthode de résolution d'équations simultanées.
En utilisant la méthode d'élimination, il faut multiplier l'équation du haut par 3 pour que les termes en I2 soient les mêmes dans les deux équations.
Donc:
9I1 + 3I2= 42
2I1 + 3I2 = 7
Il faut ensuite soustraire la deuxième équation de la première, terme à terme, pour éliminer J2. Donc, comme le terme I2 devient zéro:
7I1 = 35
I1 = 5A
Le courant I1 de 5 A est le courant traversant R1. Comme on l'a supposé, sa direction va de a à c, car la réponse pour I1 est positive.
Pour calculer I2, remplacer I1 par 5 dans l'une ou l'autre des deux équations des boucles.
En utilisant l'équation du bas pour la substitution, on obtient:
2(5) + 3I2 = 7
3I2 = 7-10
3I2=-3
I2=-1A
Le signe négatif pour I2 signifie que le courant est opposé à la direction supposée. I2 circule donc de c à e en traversant R2 au lieu d'emprunter la direction de e à c.
Explication de la valeur négative de I2
On a supposé, sur la figure 8-3, que I2 circulait du point e au point c en passant par R2, car V2 produit un flux d'électrons dans ce sens.
Toutefois, l'autre source de tension, V1 produit un flux d'électrons circulant dans le sens opposé de c à e en traversant R2.
La valeur de -1 A obtenue pour I2 montre que le courant traversant R2 et produit par V1 est supérieur au courant produit par V2.
Le résultat conduit à un courant net de 1 A circulant de c à e à travers la résistance R2.
Le sens réel de I2 apparaît sur la figure 8-4 avec toutes les valeurs permettant de résoudre ce circuit. Remarquons que la polarité de V2 est inversée par rapport à la polarité supposée de la figure 8-3.
Étant donné que le flux d'électrons net traversant effectivement R2 circule de c à e, l'extrémité c de R2 est l'extrémité négative. Toutefois, la polarité de V2 est la même sur les deux schémas, car il s'agit d'une source de tension qui engendre sa propre polarité.
Calcul du courant I3 traversant R3:
I3 = I1 + I2 = 5 + (-l)
I3 = 4A
Le courant I3 de 4 A est dans le sens supposé et circule de c à d.
Bien que le signe négatif pour I2 signifie uniquement que le sens est inversé, sa valeur algébrique de -1 doit être utilisée dans l'équation algébrique écrite pour le sens supposé.
Calcul des tensions
Connaissant les courants, on peut calculer la tension aux bornes de chaque résistance de la manière suivante:
VR1 = I1/R1 = 5 x 12 = 60V
VR2=I2R2 = 1 x 3= 3V
VR3 = I3R3 = 4 x 6 = 24 V
On doit considérer tous les courants comme étant positifs, dans le sens voulu, pour pouvoir calculer les tensions.
La polarité de chaque chute de tension IR est alors déterminée à partir du sens réel du courant, avec un flux d'électrons pénétrant dans l'extrémité négative (voir la figure 8-4).
Remarquons que VR2 et VR3 ont des polarités opposées dans la boucle 2. La somme de +3 V et de -24 V est donc égale à la tension V2 de -21 V.
Vérification de la solution
La figure 8-4, pour résumer toutes les réponses de ce problème, montre un réseau avec l'ensemble des courants et des tensions. La polarité de chaque tension V est marquée à partir des sens connus.
Lors de la vérification des réponses, nous pouvons voir si les lois des courants et des tensions de Kirchhoff ont bien été appliquées:
Au point c: 5a = 4a + 1a
Au point d: 4a + 1a = 5a
Autour de la boucle avec V1.
84V - 60V- 24V = 0
(Sens des aiguilles d'une montre à partir de b.)
Autour de la boucle avec V2:
21V + 3V - 24V = 0
(Sens opposé aux aiguilles d'une montre à partir de/.)
On remarquera que le circuit a été résolu en utilisant seulement les deux lois de Kirchhoff, sans aucune des règles spéciales pour les circuits série et parallèle.
Tout circuit peut se résoudre en appliquant uniquement la loi des tensions de Kirchhoff autour d'une boucle et la loi des courants de Kirchhoff à un noeud.
Problèmes pratiques 8.3 (réponses à la fin du chapitre)
Considérer la figure 8-4:
(a) Calculer la tension autour du trajet cefd;
(b) Calculer la tension autour de la boucle cefdc.
8.4 ANALYSE DE LA TENSION AUX NOEUDS